1. 토리첼리의 정리(Torricelli’s Law)와 이론 유출 속도 공식

1643년 이탈리아의 수학자·물리학자인 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)는 탱크 측면이나 바닥에 뚫린 구멍(Orifice)을 통해 대기 중으로 흘러나오는 유체의 속도가, 유체 표면으로부터 구멍까지의 높이(수두, H)에서 자유낙하하는 물체의 최종 낙하 속도와 기하학적으로 완벽히 동일하다는 법칙을 발견했습니다.

v_th = √(2 × g × H)

여기서 v_th는 이론 유출 속도(m/s), g는 중력가속도(9.80665 m/s²), H는 오리피스 중심점으로부터 측정된 탱크 수위 수두(m)입니다. 이 식은 베르누이 방정식에서 탱크 단면적이 구멍의 단면적에 비해 무한히 커서 표면 속도를 0으로 가정한 후 압력차를 소거하여 도출한 극한의 이상적 수학식입니다.

2. 오리피스 계수의 구성: 유출 계수(Cd), 속도 계수(Cv), 수축 계수(Cc)

실제 유동에서는 유체의 점성 마찰과 오리피스 홀 단면을 통과할 때 급격한 방향 변경에 의한 관성 현상으로 인해 속도와 유량이 모두 감소합니다. 이를 보정하기 위해 세 가지 유체 계수 개념을 도입합니다.

• 속도 계수 (Coefficient of Velocity, Cv): 내부 마찰에 의한 유속 감소 비율입니다. v_act = Cv × v_th 이며 일반적인 가공 오리피스에서 약 0.97 ~ 0.99 수준입니다.
• 수축 계수 (Coefficient of Contraction, Cc): 유체가 구멍을 빠져나온 후 관성에 의해 유동 단면적이 구멍 면적보다 다소 작아지는 현상을 수축 단면(Vena Contracta)이라고 합니다. 구멍 면적 대비 실제 유동 수축 면적의 비로 약 0.62 ~ 0.64 수준입니다.
• 유출 계수 (Coefficient of Discharge, Cd): 최종적인 실제 체적 유량(Q)을 구하기 위한 종합 계수로, 속도 계수와 수축 계수의 곱으로 결정됩니다.

Cd = Cv × Cc ≈ 0.60 ~ 0.65 (예리한 오리피스 기준)

Q_act = Cd × A_o × √(2gH)  [m³/s]

3. 포물선 분출 분류(Jet Trajectory)의 운동역학적 궤적 계산

수평 방향으로 뿜어 나오는 분류(Jet)는 공기 저항이 없다고 가정할 때, 수평 방향으로는 등속도 운동(x = v × t)을 하고 수직 방향으로는 중력을 받아 등가속도 자유낙하 운동(y = ½gt²)을 하는 전형적인 포물선 투사체 궤적을 보입니다. 수두의 높이 H와 분출 구멍의 지상 높이 Y가 주어질 때 수평 최대 비행 거리 X는 다음과 같은 최적의 공학식으로 도출됩니다.

X = 2 × √(H × Y)

이는 뚫린 지점의 높이가 전체 탱크 깊이의 정확한 중심(H = Y)일 때 물줄기가 가장 멀리 도달함을 이론적으로 시사해 주며, 이 흥미로운 운동 양식이 시뮬레이터 캔버스에 실시간 물리 벡터로 가시화됩니다.