🚀 고유진동수 계산기 & 시뮬레이터
- 계 구성 요소 정의: 매달려 진동할 추의 질량(m)과 스프링 상성 stiffness(k), 유압 댐퍼의 감쇠 계수(c)를 입력합니다.
- 자유진동 상태 분석: 마우스로 추를 아래로 당겼다 놓거나 '자유진동(Free Oscillation)' 상태에서의 과도 감쇠 곡선(부족감쇠, 임계감쇠, 과감쇠)의 진폭 소멸 궤적을 확인합니다.
- 외력 주파수(f_e) 입력: 조화 진동 외력을 가하여 주파수 비(r)에 따른 강제 진동의 연속 스윙 진폭을 확인합니다.
- 공진(Resonance) 유발 및 확대 관측: 외력 주파수를 계의 고유진동수(fn)와 일치시켜(r = 1.0) 진폭이 수십 배 이상 파멸적으로 폭증하는 공진 현상과 동적 확대 계수(DMF) 변화를 모니터링합니다.
📚 상세 기계 진동학 수학적 운동방정식 및 공진 공식 해설 ▼
1. Spring-Mass-Damper 계의 2계 선형 상미분방정식
일자유도(1-DOF) 스프링-질량-댐퍼 시스템의 자유도 방향에 따른 동역학적 평형 상태는 뉴턴의 제2법칙에 의해 다음과 같은 2계 동차 선형 상미분방정식(2nd order ODE)으로 기술됩니다.
m·x''(t) + c·x'(t) + k·x(t) = F(t)
여기서 m은 질량(kg), c는 감쇠계수(N·s/m), k는 스프링 상수(N/m)이며 F(t)는 외부 강제 조화 가해지는 조화 외력입니다.
2. 고유진동수(f_n) 및 감쇠비(ζ)에 따른 과도 감쇠 상태 판정
계의 감쇠가 없을 때 고유하게 진동하려는 고유 각진동수(ω_n) 및 고유진동수(f_n, Hz) 공식은 아래와 같습니다.
ω_n = √(k / m) [rad/s], f_n = ω_n / (2π) [Hz]
시스템의 최대 감쇠 한계를 규정하는 임계 감쇠 계수 C_c 및 실질적인 감쇠비(Damping Ratio, ζ)는 다음과 같습니다.
C_c = 2·√(m·k) [N·s/m], ζ = c / C_c
산출된 감쇠비 ζ의 크기에 따라 물리적인 진동 상태가 엄격히 4가지 영역으로 천이됩니다.
- ζ = 0: 비감쇠 진동 (Undamped) - 영구히 지속 스윙
- 0 < ζ < 1: 부족 감쇠 (Underdamped) - 나선 소멸형 진동
- ζ = 1: 임계 감쇠 (Critically Damped) - 진동 없이 가장 빠르게 평형점으로 복귀
- ζ > 1: 과감쇠 (Overdamped) - 지나친 제동 저항으로 매우 완만하게 수렴
3. 주파수비(r) 및 동적 확대 계수(DMF)와 공진(Resonance) 파멸
외력이 F(t) = F_0 · sin(ω_e · t)로 주기 작용할 때, 정적 변위에 대한 최대 동적 응답 비를 나타내는 동적 확대 계수(Dynamic Magnification Factor, DMF)는 다음 공식으로 정의됩니다.
DMF = 1 / √[ (1 - r²)² + (2·ζ·r)² ]
여기서 r = f_e / f_n은 주파수 비입니다. 외력 주파수와 계의 고유 주파수가 동일한 공진 점(r ≈ 1.0)에 도달하면, 감쇠비 ζ가 작을수록 분모가 0에 한없이 수렴하여 DMF가 수십 배, 혹은 무한대로 수직 상승합니다. 타코마 다리 붕괴 사고, 빌딩의 지진파 피로 파괴 등 모든 파국적 구조 진동이 바로 이 공진 파괴 작용에서 비롯됩니다.